El número pi conecta por sorpresa la física cuántica con las matemáticas

Dos investigadores encuentran la constante infinita en los átomos de hidrógeno

Andrea Arnal / El País 10 nov 2015

Dos páginas del libro 'Arithmetica Infinitorum' (1656),
de John Wallis. / GOOGLE BOOKS

En la escuela nos enseñan que π (pi), esa infinita constante matemática que empieza por 3’14, está relacionada simplemente con arcos y círculos, pero lo cierto es que los matemáticos están más que acostumbrados a ver esta constante en multitud de campos, como en el cálculo de la longitud de un río. Ahora, unos expertos de la Universidad de Rochester (EE UU) han abierto una veta más en las relaciones que este sorprendente número tiene en la naturaleza, y no salen de su asombro.

Sus resultados, publicados hoy en la revista Journal of Mathematical Physics, han revelado que esta constante aparece en las fórmulas asociadas a la mecánica cuántica para el cálculo del estado energético de los átomos de hidrógeno.

“Encontramos la clásica fórmula de Wallis sobre pi, descrita en el siglo XVII, en el campo de la mecánica cuántica del siglo XX”, ha indicado en un comunicado Tamar Friedmann, profesora de matemáticas y coautora del estudio. La fórmula de Wallis, desarrollada por el matemático británico John Wallis en su libro Arithmetica Infinitorum (1656), describe a π como el resultado de una serie infinita de fracciones de números enteros.

Todo comenzó con unas clases sobre física de partículas. Carl R. Hagen, uno de los seis físicos que predijo la existencia del bosón de Higgs y que imparte clases en la Universidad de Rochester, pidió a sus alumnos que aplicaran al átomo de hidrógeno el método variacional, una técnica usada para hacer cálculos aproximados de los estados de energía de los sistemas cuánticos, esos objetos a escala atómica cuyo comportamiento no se puede explicar con la física clásica.

El método variacional se emplea con sistemas cuánticos en los que no se puede calcular su estado energético con precisión, como las moléculas. Pero el átomo de hidrógeno es precisamente uno de los pocos sistemas cuánticos cuyos niveles de energía se pueden calcular con exactitud con otras técnicas, así que aplicar el método variacional serviría a los alumnos para ver los errores en su enfoque.

Cuando Hagen empezó a solucionar el problema, inmediatamente detectó una tendencia. El error del método variacional era de un 15% para el estado estable del hidrógeno, un 10% para el primer estado de excitación y así sucesivamente. El margen de error se iba haciendo más pequeño según aumentaba el estado de excitación del átomo. Esto es algo inusual, ya que en teoría el método variacional solo da buenas aproximaciones para los niveles más bajos de energía.

Hagen pidió ayuda a su colega Tamar Friedmann y la investigadora descubrió que, al aumentar la energía, el límite del método variacional se acercaba al modelo de hidrógeno propuesto por el físico danés Niels Bohr a principios del siglo XX. Este modelo representa las órbitas del electrón como perfectamente circulares.

“En los estados más bajos de energía, la trayectoria del electrón es difusa y dispersa”, explica Hagen. “En estados más excitados, las órbitas se vuelven más definidas y la incertidumbre en los radios de su órbita se reduce”.

Una gema inesperada

“Este artículo da una interpretación preciosa de la fórmula de Wallis en términos de las energías que aparecen en el átomo de hidrógeno”, explica David Pérez, investigador del Instituto de Ciencias Matemáticas (ICMAT).

“El resultado es una pequeña gema que uno se encuentra en la investigación científica. Como tal, su valor no reside en sus implicaciones o en su utilidad práctica, sino en su belleza y en su rareza”, indica Pérez. “Esta no es la primera vez que una teoría o fórmula matemática encuentra una interpretación inesperada en la física. Pero eso no ocurre tantas veces, y menos aún para conectar dos resultados tan antiguos y fundamentales como la fórmula de Wallis, con más de 350 años de antigüedad, y los niveles de energía del átomo de hidrógeno”, añade.

La teoría de la mecánica cuántica data de principios del siglo XX y la fórmula de Wallis, de 1656, pero la conexión entre las dos se ha mantenido oculta hasta ahora. “La naturaleza se ha guardado este secreto durante 80 años”, afirma Friedmann.